鴨川η

PRML 演習2.12

はじめに

9章で混合ガウス分布がこれでもかと出てくるので,一旦2章まで戻りました. ディリクレ分布までやったので今度はガウス分布です.

1. 正規化の確認

連続変数なので,全区間を積分して1になることを確かめればよい.

\begin{eqnarray} \int_a^b \frac{1}{b-a} dx &=& [\frac{x}{b-a}]_a^b \\ &=& \frac{b}{b-a} - \frac{a}{b-a} \\ &=& 1 \end{eqnarray}

2. 平均

式(1.34)を使うだけ

\begin{eqnarray} E[x] &=& \int_a^b x \frac{1}{b-a} dx \\ &=& [\frac{x^2}{2(b-a)}]_a^b \\ &=& \frac{b^2}{2(b-a)} - \frac{a^2}{2(b-a)} \\ &=& \frac{a+b}{2} \end{eqnarray}

3. 分散

求めた平均と式(1.39)を使う

\begin{eqnarray} var[x] &=& \int_a^b x^2 \frac{1}{b-a} dx - E[x]^2 \\ &=& [\frac{x^3}{3(b-a)}]_a^b - \frac{(a+b)^2}{4}\\ &=& \frac{b^2+ab+a^2}{3} - \frac{(a+b)^2}{4}\\ &=& \frac{(a-b)^2}{12} \end{eqnarray}

一様分布についてのもう少しだけ詳しい説明が付録Bにあります.